Fondamenti della meccanica atomica
il che fissa il rapporto tra α e β: si può poi disporre del valore di uno di essi per far sì che anche risulti normalizzata. Dalla coppia se ne
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come due autovalori E1, E2 coincidenti, ed a ciascuno di essi far corrispondere, nel modo spiegato sopra, una autofunzione normalizzata ed ortogonale
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I coefficienti c1 e c2 sono dati dalla (50) e da essi si trova
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coefficiente P sia infinitesimo almeno del 1 ordine, ed il coefficiente Q almeno del 2°, cioè che essi possano scriversi (per x abbastanza grande)
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Tale problema in generale non ammette soluzioni regolari e non nulle, fuorchè per certi valori del parametro , che si chiamano autovalori. Essi
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In molti casi non è necessario precisare il valore dei secondi membri delle (94), (95), ma basta tener presente che essi sono dell'ordine di
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e questa è la sola limitazione per e . Tutto ciò che si può ricavare da essa, riguardo a cos e cos separatamente, è che ciascuno di essi deve esser
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In tal caso essi sarebbero legati assai più intimamente che non nell'atomo di idrogeno.
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Essi possono anche venir definiti mediante la derivata l-esima dell'espressione : difatti si ha
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Essi costituiscono (essendo autofunzioni della (238)) un sistema di funzioni ortogonali nell'intervallo (— 1, + 1): non sono però normalizzati
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Si osservi che, sebbene la u venga a dipendere da tre numeri quantici (n, l, m) i livelli energetici dipendono da due soli di essi, poichè il quanto
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fatto che essi sono legati ad una classe di funzioni studiate da tempo e dotate di notevoli proprietà: i polinomi di Laguerre.
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D'altra parte anche è, al pari di , un polinomio di grado n': quindi essi possono differire al più per un fattore costante, che indicheremo con
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per essi ha interesse la considerazione della R(r) e più ancora della funzione R2(r) poichè, fissata una semiretta uscente dal nucleo (cioè fissati e
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Occupiamoci anzitutto degli integrali rispetto a . Il primo di essi, sostituendovi le espressioni di e conformi alla (229') diviene
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libertà è periodico esso è dunque f —1 volte degenere. I sistemi degeneri si presentano assai spesso nelle questioni di fisica atomica ma di essi ci
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nello studio della meccanica atomica le soddisfano, e quindi possono ad essi applicarsi le condizioni di Sommerfeld che ora enunceremo.
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Ogni livello energetico quindi si sdoppia, per effetto dell'esistenza dello spin, in due livelli vicini: la differenza di essi è dell'ordine di
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Se poi è dato un certo numero n di vettori nello spazio funzionale , tutti i vettori ottenibili da essi mediante una combinazione lineare a
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che essi definiscono nello spazio hilbertiano un sistema di assi coordinati ortogonali (uno per ogni valore di n), allo stesso modo come una terna di
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In modo analogo si definisce la differenza di due o. l., e la somma di un numero qualunque di essi.
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Si riconosce poi immediatamente che un o. l., funzione di uno o più o. l. , permutabili tra loro, è permutabile con ciascuno di essi.
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indici m e n figurano nello stesso ordine nei due membri, e l'indice di sommatoria resta in mezzo ad essi).
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autovalori distinti Am e essi sono ortogonali: difatti si ha
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più avanti) sempre reali: essi costituiscono un sistema completo di funzioni ortogonali, e possono essere continui o discreti: generalmente ci
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essi siano permutabili.
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Dunque: gli autovalori dell'operatore x sono tutti i numeri reali x', e ad ognuno di essi corrisponde un asse individuato dalla funzione (75). Tali
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aspetto diverso da quello della meccanica ordinaria, e cioè come enti definiti soltanto dal tipo di «osservazione» che ad essi corrisponde. Per mettere
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Quanto ai livelli energetici, ciascuno di essi risulta (v. § prec.) dalla somma di un autovalore della (94) e uno della (95): ciò significa che
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calcolerà per ciascuno di essi il valore medio mediante la (115), e il valore medio richiesto sarà
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caso un certo numero (assai grande) di sistemi, si osserva su essi la , e se ne prende il valor medio; poi si estrae dall'insieme un altro gruppo assai
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noti) rappresentano i valori iniziali delle : essi vanno associati alle equazioni differenziali (222) per ottenere le in funzione di t, ossia
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In corrispondenza a questa rappresentazione, è conveniente rappresentare gli operatori mediante matrici, osservando che essi hanno solo due
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Quanto ai tre termini in cui , essi danno, tenendo presenti le (234),
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delle (236) essi si possono scrivere . D'altra parte, dalle (270) si ricava subito che
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(l) Tralasciamo, per semplicità di notazione, di scrivere gli indici della finzione sferica Z: si noti che essi saranno in genere diversi per le
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essi saranno in genere diversi per le quattro , come si vedrà più avanti. con Z anziché con , perchè, per semplificare le formule, conviene qui
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il significato fisico di questi: ciascuno di essi corrisponde ad un diverso livello energetico dell'atomo, e quindi ad un diverso stato quantico. E
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Il fenomeno della annichilazione rende ragione del fatto che gli elettroni positivi sono tanto più rari ad osservarsi dei negativi, e che essi non
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che confermano l'esistenza di stati quantici discreti e l'esattezza della legge (18) riguardo ai passaggi dall'uno all'altro di essi con emissione o
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Ciò non significa che i termini dell'ortoelio siano tutti tripli, ma che essi sono tripli ad eccezione dei termini S che sono sempre semplici (si
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questo solo per il nucleo: le formule dell'He quindi si applicano anche ad essi, cambiando i valori numerici. L'accordo con l'esperienza è anche in
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gli elettroni emessi da questo si trovano in un campo elettrico che li accelera verso la griglia: essi passano quindi attraverso le maglie di questa
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Se gli elettroni non subiscono urti anelastici, essi si muovono di moto accelerato fino alla griglia, dove raggiungono il massimo della loro velocità
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, che sono state eseguite, su varie sostanze, oltre che da FRANCK e HERTZ, già citati, da molti altri fisici: per essi rimandiamo al n. 28 della
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Questo fenomeno si spiega quantisticamente nel modo seguente. Gli atomi vengono, come si è detto, eccitati dalla luce incidente: se essi sono portati
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(1) Essi sono detti: quanto totale n, quanto azimutale l, quanto magnetico m. L'ultimo non ha influenza sull'energia, eccetto il caso dell'effetto
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In un cristallo esistono, come si sa, numerosissimi piani reticolari, ma di essi sono praticamente efficaci per la diffrazione soltanto quelli nei
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l'intera materia da un punto di vista originale fondandosi sopratutto sul concetto fisico di «stato» e sul concetto matematico di «operatore»: essi così
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Si dice allora che y1, y2 sono stati assunti come integrali fondamentali: vi è naturalmente larga arbitrarietà nella loro scelta, potendosi ad essi
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Accademia della crusca
